[2015년 대화고]

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[2학년 2학기 기말 미적분2]

[eqn: y=e^x]에 접하고 기울기가 [eqn: 1]인 접선의 방정식을 구하면? [4.3점]

③

① [eqn: y=x-1]	② [eqn: y=x]	③ [eqn: y=x+1]

④ [eqn: y=x+2]	⑤ [eqn: y=x+3]

함수 [eqn: f(x)=e ^{ln(x ^{2} +1)}]에 대하여 [eqn: f `prime (1)]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여
[eqn: F(x)=xf(x)-sinx+x cosx], [eqn: F( pi )= pi]
일 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: - pi]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: pi]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +x+1]과 그 역함수 [eqn: f ^{-1} (x)]에 대하여 [eqn: (f ^{-1} ) prime (3)]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {6}]

[eqn: lim _{x-> 1} {{1} over {x ^{2} -1}} int _{1} ^{x ^{3}} {t ^{2} `cos(2 pi t)dt}]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

두 함수 [eqn: y=sinx], [eqn: y=sin2x(0 LEQ x LEQ pi )]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: {b} over {a}]라 할 때, [eqn: b-a]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소이다.) [4.4점]

①

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

함수 [eqn: f(x)=e ^{-x} (sinx+cosx)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f `prime prime (x)+af` prime (x)+bf(x)=0]
을 만족시킨다. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2a-b]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 0]

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} +1]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때,
[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx`+ int _{2} ^{e+1} {g(x)dx}}]를 구하면? [4.4점]

②

① [eqn: e]	② [eqn: e+1]	③ [eqn: e+2]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: 3e]

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} (x ^{2} +ax+2)]가 극값이 존재하지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 최솟값은? [4.5점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -3]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,```1 RIGHT ]]에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= int _{0} ^{1} {2 LEFT | t-x RIGHT | dt}]
가 최솟값을 가질 때의 [eqn: x]값은? [4.5점]

①

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {6}]

연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

이때, [eqn: int _{-1} ^{1} {(x+1) ^{2} f(x)dx}]의 값은? [4.5점]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(-x)=-f(x)]

(나) [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx=2],  [eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)dx=5}]

⑤

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: k sqrt {x ^{2} +2} =3x]가 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 최댓값은? [4.5점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x]축 위의 점 [eqn: (k,``` 0)]에서 곡선 [eqn: y=(x-1)e^x]에 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, 실수 [eqn: k]값에 해당하는 것은?
(단, [eqn: lim _{x -> - INF } {(x-1)e ^{x}} =0]) [4.6점]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

밑면의 지름의 길이가 [eqn: 2a], 높이가 [eqn: 5a]인 원기둥이 있다. 이 원기둥을 밑면의 지름을 지나고 밑면에 대하여 [eqn: 30 DEG]의 각을 이루는 평면 [eqn: alpha]로 잘랐을 때, 밑면과 평면 [eqn: alpha] 사이에 놓여 있는 입체도형의 부피는? [4.6점]

②

① [eqn: {sqrt {3}} over {9} a ^{3}]	② [eqn: {2 sqrt {3}} over {9} a ^{3}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {3} a ^{3}]
④ [eqn: {4 sqrt {3}} over {9} a ^{3}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {3}} over {9} a ^{3}]

방정식 [eqn: e`lnx=x+n-4]가 실근을 갖지 않도록 하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은? (단, [eqn: lim _{x-> INF } {(e`lnx-x)=- INF }]) [4.6점]

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

곡선 [eqn: f(x)= {1} over {2} ax ^{2} +4`sinx+x]가 변곡점을 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.6점]

③

① [eqn: 5]개	② [eqn: 6]개	③ [eqn: 7]개

④ [eqn: 8]개	⑤ [eqn: 9]개

[eqn: 0<x< {pi } over {8}]인 모든 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: tan4x>ax]를 만족하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은? [4.7점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

점 [eqn: LEFT ( a,``` {a ^{2}} over {4} RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=x ^{2}]에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: f(a)=tan theta]라 하면 [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: a>0]인 실수) [4.7점]

④

① [eqn: {sqrt {3}} over {5}]	② [eqn: {2 sqrt {3}} over {5}]	③ [eqn: {3 sqrt {3}} over {5}]
④ [eqn: {4 sqrt {3}} over {5}]	⑤ [eqn: sqrt { 3}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= sqrt { 2x}]와 두 직선 [eqn: x=n], [eqn: x=n+1] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고 [eqn: x]축과 수직인 평면으로 자른 단면이 [eqn: x]축과의 교점을 중심으로 하는 사분원인 입체도형의 부피를 [eqn: V_{ n}]이라고 하자. 이 때 [eqn: V_{ 9}]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: {17} over {4} pi]	② [eqn: {19} over {4} pi]	③ [eqn: {21} over {4} pi]

④ [eqn: {23} over {4} pi]	⑤ [eqn: {25} over {4} pi]

[eqn: lim _{n-> INF } {ln {( sqrt {n+1} cdot sqrt {n+2} cdot sqrt {n+3} CDOT CDOTS CDOT sqrt {n+n} ) ^{{1} over {n}}} over {sqrt {n}}}]의 값을 계산하면 [eqn: - {b} over {a} +`lna]이다. 이 때, 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소) [4.7점]

⑤

① [eqn: 13]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 5]

서술형

그림과 같이 두 꼭짓점은 [eqn: x]축 위에 있고, 다른 두 꼭짓점은 곡선 [eqn: y=e ^{- {x ^{2}} over {2}}] 위에 있는 직사각형 넓이의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: {2} over {sqrt {e}}]

곡선 [eqn: y=lnx]에 대하여 원점에서 이 곡선에 그은 접선을 그었을 때, 이 곡선과 접선 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: {e} over {2} -1]

[2015년 대화고]

[2학년 2학기 기말 미적분2]

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